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viernes, 23 de abril de 2010

Historia

Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición. Y se habla de ella como matemática práctica.


Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

Conceptos generales

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulos asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.

Concepto de funcion trigonometrica

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

Graficas de la funciones

Funciones trigonometricas

funcion seno: El seno del angulo es la razon entre la proyeccion vertical del segmento orientado y la longitud de éste. ``Cateto opuesto sobre hipotenusa''.



funcion coseno: El coseno del angulo es la razon entre la proyeccion horizontal del segmento orientado y la longitud de éste. Cateto adyacente sobre hipotenusa. ``Esto quiere decir cateto adyacente sobre hipotenusa''



funcion tangente: La tengente del angulo es la razon entre las proyecciones vertical y horizontal del segmento orientado, siendo esta ultima diferente de cero.


funcion cosecante: La cosecante del angulo es la razon recíproca del seno. Se define como el cociente de la longitud del segmento orientado y su proyeccion vertical. ``Es decir hipotenusa sobre cateto opuesto''.


funcion secante: La secante del angulo es la razon recíproca del coseno. Se define como el cociente entre la longitud del segmento orientado y la proyeccion horizontal. ``Es decir Hipotenusa sobre cateto Adyacente''.


funcion cotangente: La cosecante del angulo es la razon recíproca de la tangente. se define como el cociente entre las proyecciones horizontal y vertical del segmento orientado. ``Cateto Adyacente sobre cateto opuesto''



Propiedades de las funciones

Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.



Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

Relación con el triangulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triangulo rectangulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
  • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
  • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes.